TRIÂNGULO DE PASCAL

Você já ouviu falar sobre o triângulo de Pascal? Esse triângulo, que também é conhecido como triângulo de Tartaglia, chama a atenção dos matemáticos devido as suas características especiais. Dentre as suas aplicações, podemos destacar a análise combinatória e o binômio de Newton.

Bom estudo!

 

 

O triângulo de Pascal é uma disposição de números binominais, onde os coeficientes de mesmo numerador agrupam-se na mesma linha e os coeficientes de mesmo denominador agrupam-se em uma mesma coluna.

Veja na figura abaixo a construção de um triângulo de Pascal até a quinta linha:

 

triangulo de pascal numeros binominais

 

Calculando o valor de cada um dos coeficientes, obtemos uma nova representação para o triângulo:

triangulo de pascal em numeros

 

 

PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL

 

  • Todas as linhas começam e terminam por 1.

 

  • Em uma mesma linha, os coeficientes equidistantes dos extremos são iguais. Veja na figura abaixo como os números estão dispostos na linha 5:

triangulo de pascal quinta linha

 

  • Cada um dos elementos, com exceção do primeiro e do último, é igual à soma de dois elementos da linha anterior. Essa propriedade é chamada de Relação de Stifel. Veja na animação abaixo:

animacao triangulo de pascal

 

  • A soma dos elementos da linha k é igual a 2k. Essa propriedade é chamada de Teorema das Linhas. Veja o exemplo da quarta linha:

triangulo de pascal quarta linha

 

  • Os elementos da linha k são os coeficientes na expansão do binômio de Newton, que é um binômio da forma (a + b)k. Veja o exemplo da terceira linha:

triangulo de pascal binomio de newton

 

  • É possível extrair a sequência de Fibonacci do triângulo de Pascal. Observe as diagonais marcadas pelas linhas vermelhas, cujas somas formam a sequência.

triangulo de pascal e sequencia de fibonacci

 

  • As potências de 11 podem ser obtidas a partir das linhas do triângulo, onde a potência 11k está localizada na linha k. É importante ressaltar que a partir da quinta linha já aparecem números com mais de um algarismo. Neste caso, os algarismos que não correspondem à unidade podem ser acrescentados à próxima potência de 10. Veja o exemplo da linha 4:

triangulo de pascal propriedade potencias de 11

 

 

 

Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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