TEOREMA DE LAPLACE

Olá caros estudantes. Nesta página vamos aprender a utilizar o famoso Teorema de Laplace, muito útil para o cálculo de determinantes de matrizes 4×4, ou de ordem superior.

Não deixe de ler primeiro os nossos conteúdos sobre matrizes e determinantes para evitar queimar etapas.

Bom estudo!

 

 

COFATOR

Antes de falarmos sobre o Teorema de Laplace, vamos aprender a calcular o cofator.

Seja A uma matriz de ordem maior ou igual a 3. Vamos representar o cofator de um elemento aij qualquer de A por Aij, onde 1≤i e j≤n.

Definimos:

Aij = (-1)i+j.Dij, onde Dij é o determinante que se obtém de A, eliminando a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

 

 

Exemplo 1:

Calcular o cofator dos elemento a13, a22 e a33 da matriz abaixo.

matriz 3x3

exemplo de como calcular o cofator

calculando o cofator

calculando o cofator

 

 

TEOREMA DE LAPLACE

Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n através do Teorema de Laplace, basta seguirmos os dois passos abaixo:

  • Escolher arbitrariamente uma linha (ou coluna) da matriz.
  • Somar os produtos dos elementos dessa linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Como foi falado, não importa a linha ou coluna escolhida, o valor do determinante será sempre o mesmo.

Vale ressaltar que este teorema pode ser aplicado a matrizes de qualquer ordem, porém existem ferramentas mais simples para os determinantes de matrizes 2×2 e 3×3.

 

 

Exemplo 2:

Vamos utilizar o Teorema de Laplace para calcular o determinante da matriz A(4×4) abaixo:

exemplo de como calcular determinante de matriz 4x4

Como podemos escolher qualquer linha ou coluna, vamos escolher a linha 3.

DetA = 7.A31 + 4.A32 + (-5).A33 + 0.A34

 

Calculando os cofatores, onde omitiremos os cálculos dos determinantes das matrizes 3×3:

cofator 4x4

cofator e laplace

teorema de laplace utilizacao

DetA = 7.9 + 4.20 + (-5).7 + 0 = 108

 

About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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