RELAÇÃO DE EULER

Confira aqui a fórmula matemática conhecida como a Relação de Euler, onde apresentaremos a definição, quando e como utilizá-la.

Trata-se do estudo dos poliedros, matéria da matemática espacial. Vale a pena conferir.

Bom estudo!

 

 

A Relação de Euler é uma importante ferramenta para relacionar o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo. Assim, para todo poliedro convexo, temos que:

 

V + F = A + 2

Onde:

V = número de vértices do poliedro

F = número de faces do poliedro

A = número de arestas do poliedro

 

Utilizar a Relação de Euler é bem simples. Vamos verificá-la para alguns exemplos conhecidos:

 

 

EXEMPLO 1. Verificar a Relação de Euler para o cubo.

relacao de euler cubo

Analisando a figura, temos que:

V = 8

F = 6

A = 12

 

Verificando a fórmula matemática:

V + F = A + 2

8 + 6 = 12 + 2

14 = 14

 

 

EXEMPLO 2. Verificar a Relação de Euler para a pirâmide quadrangular.

relacao de euler piramide quadrangular

Analisando a figura, temos que:

V = 5

F = 5

A = 8

 

Verificando a fórmula matemática:

V + F = A + 2

5 + 5 = 8 + 2

10 = 10

 

 

EXEMPLO 3. Verificar a Relação de Euler para o poliedro convexo abaixo.

relacao de euler poliedro convexo

Analisando a figura, temos que:

V = 8

F = 6

A = 12

 

Verificando a fórmula matemática:

V + F = A + 2

8 + 6 = 12 + 2

14 = 14

 

 

EXEMPLO 4. Quantas arestas e quantos vértices tem um poliedro convexo de 20 faces triangulares?

A fórmula relaciona arestas, vértices e faces. Como já sabemos a quantidade de faces, precisamos descobrir a quantidade de arestas ou de vértices para utilizarmos a Relação de Euler.

Como são 20 faces triangulares, podemos descobrir a quantidade de arestas multiplicando 20 x 3 = 60, e dividindo por dois, pois em nosso cálculo a mesma aresta foi contada duas vezes. Assim, temos 30 arestas.

 

Utilizando a fórmula:

V + F = A + 2

V + 20 = 30 + 2

V = 32 – 20

V = 12

 

Daí, o poliedro possui 30 arestas e 12 vértices.

About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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