PROGRESSÃO GEOMÉTRICA: DEFINIÇÃO, FÓRMULAS E EXEMPLOS

Você sabe o que é uma Progressão Geométrica? Nesta página vamos falar tudo o que você precisa saber sobre as PGs, apresentando a definição e as fórmulas úteis para o estudo dessas sequências, e claro, com vários exemplos.

O conteúdo é muito importante e está presente em praticamente todas as provas de concursos públicos, vestibulares ou Enem.

Bons estudos!

 

 

INTRODUÇÃO

Vamos observar a sequência de números abaixo:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …

Percebe-se que existe um padrão. Cada número é o dobro do anterior.

Qualquer sequência com esse atributo é chamada de Progressão Geométrica (PG).

 

 

DEFINIÇÃO

Podemos definir Progressão Geométrica (PG), como uma sucessão de números reais não nulos, obtida multiplicando o número anterior por um valor fixo, onde esse valor é chamado de razão representado pela letra q.

Vejamos alguns exemplos de PG:

 

Exemplo 1:

1, 2, 4, 8, 16, … (q = 2)

Exemplo 2:

2, 20, 200, 2000, … (q = 10)

Exemplo 3: 

2, 2, 2, 2, … (q = 1)

Exemplo 4:

1, -1, 1, -1, … (q = -1)

 

TERMO GERAL DA PG

Assim como em uma PA, se conhecermos o primeiro termo (a1) e a razão (q) da PG, podemos descobrir qualquer elemento da sequência.

Veja a fórmula:

formula termo geral pg

Essa expressão simples é capaz de determinar qualquer termo (an), sabendo-se o primeiro termo e a razão.

Vamos utilizá-la em alguns exemplos:

 

Exemplo 5:

Calcular o 10º termo da sequência (5, 10, 20, 40,…)

Temos que a1 = 5, n = 10 e q = 2.

Utilizando a fórmula do termo geral:

exemplo formula termo geral pg

 

Exemplo 6:

Calcular o 6º termo da sequência (3, 9, 27,…)

Temos que a1 = 3, n = 6 e q = 3.

Utilizando a fórmula do termo geral:

exemplo pg

 

 

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DA PG

A soma dos termos de uma P.A. finita pode ser facilmente calculada conhecendo o primeiro termo, a quantidade e a razão.

Veja a fórmula:

formula soma pg finita

Obs: A fórmula não é valida para q=1 para evitarmos divisão por zero.

Vejamos alguns exemplos de como utilizar a fórmula para somar progressões geométricas finitas:

 

Exemplo 7:

Calcular a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,…):

Temos que o primeiro termo é 1, a razão é 2 e a quantidade de termos é 10.

Utilizando a fórmula:

exemplo soma termos pg finita

 

Exemplo 8:

Calcular o valor da soma 2+6+18+56+168+504+1512+4536

Temos uma PG onde a1=1, q=3 e n=8.

Utilizando a fórmula:

exemplo formula soma pg finita

 

 

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA

Vejamos o exemplo abaixo de uma Progressão Geométrica com infinitos termos:

exemplo de pg infinita

Nota-se que o termo da PG está ficando cada vez menor, isto acontece porque a razão da PG é 1/2, e quando a razão é um número real entre -1 e 1, a tendência é que a PG se aproxime cada vez mais de zero. Sempre que a razão estiver neste intervalo, poderemos somar todos os termos da sequência através da fórmula abaixo:

soma pg infinita

 

Vamos utilizar a fórmula para somar todos os termos da PG infinita citada acima:

Temos que a1 = 1 e q = 1/2

Utilizando a fórmula:

exemplo soma termos pg infinita

 

Gostou do nosso conteúdo sobre as Progressões Geométricas? Deixe seu comentário.

Até a próxima!

Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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