PROBABILIDADE

Confira um resumo simples e objetivo sobre probabilidade, apresentamos alguns exemplos para um melhor entendimento. O conteúdo é muito cobrado em concursos públicos e a matéria possui um nível de dificuldade alto.

 
 

1. Introdução

 

Quando lançamos uma moeda, não há como prever o resultado, a única informação que temos é que existem apenas duas possibilidades, cara ou coroa.

 

Da mesma forma, quando lançamos um dado, temos 6 possibilidades.

 

Experimentos como esses recebem o nome de “experimentos aleatórios”, pois existem diversas possibilidades e não há como prevê-las.

 
 

2. Espaço amostral

 

Vamos definir espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Veja:

 

– Jogando um dado temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6);
– Jogando uma moeda temos 2 casos possíveis (cara, coroa);
– Sorteando um número de 1 a 20 temos 20 casos possíveis;

 
 

3. Probabilidade em um espaço amostral

 

Situação problema:

 

João fez uma aposta com Lucas, apostou que ao jogar seu dado não viciado, o número sorteado seria menor do que 3. Qual a probabilidade de João ganhar a aposta?

 

Basta dividir o número de casos favoráveis pelo número de casos possiveis. Veja:

 

              P = 2/6 = 1/3 = 0,3333 ou 33,33%
Veja outro caso:

 

Julio, Cesar e Paulo estão sorteando um número entre 1 e 60. Júlio apostou nos números pares, Cesar apostou nos números acima de 40 e Paulo apostou nos números até 12. Vamos calcular a probabilidade de cada um acertar:

 

Júlio: P = 30/60 = 1/2 = 0,5 ou 50%

 

César: P = 20/60 = 1/3 = 0,3333 ou 33,33%

 

Paulo: P = 12/60 = 1/5 = 0,2 ou 20%

 
 

4. Probabilidade da união de dois eventos

 

Vamos utilizar este método quando temos dois eventos, A e B, e queremos calcular a probabilidade de ocorrer um ou outro, ou seja, A U B. Veja o problema:

 

Uma urna contém 25 bolas de 1 a 25. Ao sortear uma bola, qual a probabilidade de ser múltipla de 2 ou de 3?

 

Primeiramente, temos um espaço amostral com 25 possibilidades e dois eventos:

 

– bolas com números múltiplos de 2. São eles: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24;

 

– bolas com números múltiplos de 3. São eles: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24;

 

Neste caso, a probabilidade será calculada da seguinte forma:

 

P(A UB) = P(A) + P(B) – P(A∩B), onde:

 

P(A) = probabilidade do evento A;

 

P(B) = probabilidade do evento B;

 

P(A∩B) = probabilidade dos dois eventos ocorrerem ao mesmo tempo;

 

Voltando ao nosso problema, teremos:

 

P(A UB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 12/25 + 8/25 – 4/25 = 16/25 = 0,64 ou 64%

 
 

5. Probabilidade da ocorrência de dois eventos simultâneos

 

Vamos utilizar este método quando temos dois eventos, A e B, e queremos calcular a probabilidade de ambos ocorrerem ao mesmo tempo, ou seja, A ∩B. Veja o problema:

 

Temos duas urnas que contém 20 bolas cada, numeradas de 1 a 20. Ao sortear uma bola de cada, qual a probabilidade da primeira ser par e da segunda ser menor ou igual a 5?

 

Primeiramente, vamos calcular a probabilidade de cada evento isoladamente:

 

probabilidade-1
 

Por último, como desejamos calcular a probabilidade de ambos os eventos acontecerem ao mesmo tempo, devemos multiplicar um pelo outro. Veja:

 

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

 

Voltando ao nosso problema, teremos:

 

P(A ∩ B) = P(A) x P(B)  =  1/2 x 1/4  =  1/8  =  0,125  ou  12,5%

 

Exemplo:

 

Ao jogar um dado duas vezes, qual a probabilidade do número 5 ser sorteado sempre?

 

Primeiramente, a probabilidade do número 5 ser sorteado é:

probabilidade-2

 

 

6. Experimentos com apenas dois casos possiveis

 

Vamos estudar este caso particular para calcular a probabilidade em certos experimentos onde só existem duas opções. O exemplo mais comum é o lançamento de uma moeda, onde existem apenas as opções cara e coroa.

 

Situação problema:

 

Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de obtermos 4 caras (K) e 2 coroas (C)?

 

Observe que, caso a ordem importasse, a probabilidade seria:

 

               P( K ∩ K ∩ K ∩ K ∩ C ∩ C ) = 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/64

 

Porém, como a ordem não importa, devemos multiplicar esse valor pela combinação de 6 elementos, tomados 4 a 4. Veja:

probabilidade-3

Assim, a probabilidade é 15 x 1/64 = 15/64

Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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