NÚMEROS COMPLEXOS

Estudando matemática para concursos? Confira aqui tudo o que você precisa saber sobre os números complexos, onde falaremos sobre a definição e as operações.

Não deixe de ver também as nossas publicações sobre os demais conjuntos numéricos.

Bom estudo!

 

 

INTRODUÇÃO

Os números complexos surgiram à medida que apareceram problemas envolvendo raiz quadrada de números negativos. Isso era muito comum quando tentava-se resolver equações do segundo grau através da fórmula de Bhaskara. Por exemplo, a equação do segundo grau x² + 2x + 5 = 0 tem Δ = -16.

Para resolver esse tipo de problema, foi definida a unidade imaginária i, onde i² = -1.

 

 

DEFINIÇÃO

Chamamos de conjunto dos números complexos, representado pela letra C, o conjunto dos pares ordenados de números reais.

z ∈ C ⇔ z = (a,b), sendo que a,b ∈ R

 

Assim, um número complexo é um número z que pode ser escrito na forma algébrica da seguinte forma:

z = a + bi

 

Onde:

a e b são números reais

i é a unidade imaginária

 

Por definição, dizemos ainda que a é a parte real e b é a parte imaginária de z.

 

Exemplo:

O número z = 2 + 3i é um número complexo, onde a = 2 (parte real) e b = 3 (parte imaginária).

 

 

O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ESTÁ CONTIDO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS (R ⊂ C)

Como z = a + bi, e (a,b) é um par ordenado de números reais, podemos dizer que o conjunto dos números reais R está contido no conjunto dos números complexos C. Basta consideramos b = o. Veja:

5 = 5 + 0.i

3,4 = 3,4 + 0.i

√2 = √2 + 0.i

 

 

OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS

Sejam z1 e z2 dois números complexos, onde z1 = a + bi e z2 = c + di.

Definiremos algumas operações entre z1 e z2.

 

Igualdade de números complexos

Dois números complexos são iguais, se e somente se, possuem a mesma parte real e a mesma parte imaginária.

Dizemos que z1 = z2 ⇔ a = c e b = d.

 

Exemplos:

2 + 3i ≠ 2 + 4i

10 + i ≠ 9 + i

 

Adição de números complexos

Definiremos a adição de dois números complexos z1 e z2 da seguinte forma:

z1 + z2 = a + bi + c + di

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

Veja que basta somar as partes reais e as partes imaginárias.

 

Exemplo:

Somar os números complexos w = 5 + 6i e k = 2 + 4i.

w + k = (5 + 6i) + (2 + 4i)

w + k = (5 + 2) + (6 + 4)i

w + k = 7 + 10.i

 

Subtração de números complexos

Definiremos a subtração de dois números complexos z1 e z2 da seguinte forma:

z1 – z2 = (a + bi) – (c + di)

z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i

Veja que basta subtrair as partes reais e as partes imaginárias.

 

Exemplo:

Subtrair os números complexos w = 5 + 6i e k = 2 + 4i.

w – k = (5 + 6i) – (2 + 4i)

w – k = (5 – 2) + (6 – 4)i

w – k = 3 + 2i

 

Multiplicação de números complexos

Definiremos o produto de dois números complexos z1 e z2 da seguinte forma:

z1 . z2 = (a + bi) . (c + di)

z1 . z2 = a.c + a.di + bi.c + bi.di

z1 . z2 = ac + ad.i + bc.i + bd.i²

z1 . z2 = ac + ad.i + bc.i + bd.(-1)

z1 . z2 = ac + ad.i + bc.i – bd

z1 . z2 = (ac – bd) + (ad + bc).i

 

Exemplo:

Multiplicar os números complexos w = 5 + 6i e k = 2 + 4i.

w.k = (5 + 6i) . (2 + 4i)

w.k = 5.2 + 5.4i + 6i.2 + 6i.4i

w.k = 10 + 20i + 12i + 24i²

w.k = 10 + 32i + 24.(-1)

w.k = 10 + 32i – 24

w.k = -14 + 32i

 

 

POTÊNCIAS DE i

Já sabemos que i é a unidade imaginária em que está baseado todo o estudo dos números complexos. Vamos aprender a calcular o valor de in. Temos:

i0 = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = i².i = (-1).i = -i

i4 = i².i² = (-1).(-1) = 1

i5 = i4.i = 1.i = i

i6 = i5.i = i.i = -1

i7 = i6.i = -1.i = -i

 

É possível observar que as potências de i assumem uma sequência de apenas 4 resultados.

Sendo n um número Natural (n∈N), temos:

i4n = 1

i4n+1 = i

i4n+2 = -1

i4n+3 = -i

 

Exemplos:

i20 = 1, pois 20 = 4.5

i25 = i, pois 25 = 4.6 + 1

i10 = -1, pois 10 = 4.2 + 2

i15 = -i, pois 15 = 4.3 + 3

 

 

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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