LOGARITMOS: DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES E EXEMPLOS

Nesta página vamos falar sobre os logaritmos, apresentando a definição, alguns exemplos e a utilização das propriedades, sendo imprescindível que o aluno tenha um bom conhecimento acerca da potenciação.

Os logaritmos foram inventados com o objetivo de facilitar alguns cálculos, através da utilização de tabelas, onde as multiplicações pudessem ser transformadas em adição e as divisões em subtrações.

Bons estudos!

 

 

DEFINIÇÃO

Dados dois números (reais e positivos) ‘a’ e ‘b’, com a≠1, chamamos de logaritmo de ‘b’ na base ‘a’, o expoente ‘x’ tal que ‘a’ elevado a ‘x’ seja igual a ‘b’.

definicao de logaritmo

No logaritmo temos:

a = base do logaritmo

b = logaritmando

x = valor do logaritmo

 

EXEMPLOS

Vejamos alguns exemplos para facilitar nosso entendimento sobre a definição:

exemplo 1 da definição de logaritmos

 

exemplo 2 da definição de logaritmos

 

exemplo 3 da definicao de logaritmos

 

 

 

LOGARITMOS DE BASE 10

Você certamente já deve ter visto em algum livro ou site um logaritmo sem um valor explícito na base, como por exemplo log 3. Sempre que isto ocorrer devemos considerar que a base é igual a 10. Veja:

base 10

Os logaritmos de base 10 são muito úteis na resolução de problemas que envolvem matemática financeira, principalmente para o cálculo de taxas de juros.

 

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Decorrem da definição de logaritmo as seguintes propriedades:

  • O logaritmo de 1 é sempre 0 (zero), não importa o valor da base.

Isso ocorre porque todo número elevado a zero é igual a 1.

  • Quando o logaritmando é igual a base o logaritmo é sempre igual a 1.

Isso ocorre porque todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo.

 

PROPRIEDADES

Vamos agora estudar três propriedades importantíssimas para a resolução de questões envolvendo logaritmos. Para facilitar, vamos utilizar a base 10, mas elas valem para qualquer base.

 

Propriedade 1: Transformando multiplicação em adição.

propriedade 2 log

 

O logaritmo de um produto de dois ou mais números reais e positivos é igual à soma dos logaritmos desses números reais.

Exemplos:

log (3.5) = log 3 + log 5

log 21 = log (3.7) = log 3 + log 7

log 30 = log (2.3.5) = log 2 + log 3 + log 5

 

Propriedade 2: Transformando divisão em subtração.

CodeCogsEqn (24)

 

 

O logaritmo de um quociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números reais.

Exemplos:

log (7/5) = log 7 – log 5

log (1/2) = log 1 – log 2

 

Propriedade 3: Logaritmo da potência

propriedade 3 log

 

O logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

Exemplos:

log 4² = 2.log 4

log 2³ = 3.log 2

 

MUDANÇA DE BASE

Em muitas situações um logaritmo está em uma certa base, porém seria mais útil se estivesse em outra. Vamos aprender como podemos alterar as bases visando facilitar a resolução dos exercícios.

Por exemplo, as propriedades dos logaritmos só podem ser aplicadas quando possuem a mesma base. Essa mudança também é muito útil para mudarmos para a base 10, que é a mais utilizada.

Veja como funciona:

mudanca de base do logaritmo

 

 

 

Exemplos:

  • Quando queremos utilizar a base 5:

mudanca para base 5

 

 

  • Quando queremos utilizar a base 10:

mudanca para base 10

 

 

 

Gostou? Deixe seu comentário e compartilhe nas redes sociais.

Até a próxima!

Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

Deixe uma resposta

eu endereço de email não será publicado. Campos Obrigatórios *

*