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Você sabe o que são intervalos reais? Veremos aqui a definição, operações e aplicações para você gabaritar concursos e ENEM.

Bom estudo!

Definição

O conjunto dos números reais, representado pela letra R, possui vários subconjuntos. Alguns desses subconjuntos são chamados de intervalos reais, e são determinados por meio de desigualdades.

Imagine, por exemplo, a infinidade de números reais existentes entre os números 1 e 2. Podemos dizer que todos os números Reais entre 1 e 2 formam um subconjunto dos números reais.

Podemos representar o os números reais que estão no intervalo real entre 1 e 2 de três formas diferentes:

  • Utilizando colchetes

I = ]1, 2[

  • Utilizando desigualdades

I = {x∈R | 1<x<2}

  • Utilizando a reta real

Perceba que representamos o intervalo entre 1 e 2, porém sem incluir esses dois extremos. Neste caso, dizemos que o intervalo é aberto nos extremos 1 e 2.

Veja agora como é a representação deste intervalo, porém com a inclusão dos números 1 e 2 (neste caso, dizemos que o intervalo é fechado nos dois extremos):

  • Utilizando os colchetes

I = [1, 2]

Utilizando as desigualdades

I = {x∈R | 1≤x≤2}

Utilizando a reta real

Observou a diferença?

Quando utilizamos os colchetes, nós mudamos o sentido, quando utilizamos as desigualdades, nós alteramos para “menor ou igual”, e quando utilizamos a reta real nós a pintamos. Simples não é mesmo?

Obs: Alguns autores utilizam parênteses no lugar dos colchetes quando pretendem representar intervalos abertos. Veja:

[1, 2[ = [1, 2)

]1, 2[ = (1, 2)

Vamos a outro exemplo:

Representar o subconjunto dos Reais maiores ou iguais a 1:

Utilizando os colchetes:

I = [1, ∞[

Utilizando as desigualdades

I = {x∈R | x≥1}

Utilizando a reta real:

Operações com intervalos reais

A utilização da reta real na resolução de operações entre conjuntos formados por intervalos reais é muito importante. Através dela é possível observar com mais facilidade as operações de união, interseção e diferença entre conjuntos. Veja o exemplo:

Considere os conjuntos abaixo:

A = ]1, 3]

B = [2, 4[

Utilizaremos a reta real para representaremos os intervalos formados pela união e pela interseção de A e B.

Lembrando que:

  • A união de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos que pertencem a A ou que pertencem a B.
  • A interseção de dois conjuntos A e B é formada por todos os elementos que pertencem a A e também pertencem a B.

Temos:

A∪B = ]1, 4[

A∩B = [2, 3]

Diferença entre intervalos reais

A diferença entre conjuntos é a operação que mais gera dúvidas por parte dos alunos.

Basta lembrar que “A – B” é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A, porém NÃO pertencem ao conjunto B.

Considerando o exemplo anterior, com A = ]1, 3] e B = [2, 4[, temos:

Elementos que pertencem a A e não pertencem a B:

A – B = ]1, 2[

Elementos que pertencem a B e não pertencem a A:

B – A = ]3, 4[

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