INTERSEÇÃO DE RETAS

Veja aqui um método simples e rápido de encontrar as coordenadas do ponto de interseção de duas retas.

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Bom estudo!

 

 

Quando duas retas estão dispostas no mesmo plano, existem três posições relativas entre elas: podem ser coincidentes, paralelas ou concorrentes.

Retas coincidentes  – possuem todos os pontos em comum.

Retas paralelas – não possuem nenhum ponto em comum.

Retas coincidentes – possuem apenas um ponto em comum.

Vejamos agora como determinar as coordenadas do ponto de interseção de duas retas concorrentes, e como identificar quando duas retas são coincidentes ou paralelas.

 

Sejam r e s duas retas dispostas no mesmo plano. Podemos determinar as coordenadas do ponto P de interseção das duas retas resolvendo o sistema formado pelas equações das mesmas. Veja:

Sendo a1.x + b1.y + c1 = 0 a equação geral da reta r, e a2.x + b2.y + c2 = 0 a equação geral da reta s, o ponto de interseção das duas retas pode ser determinado resolvendo o sistema de equações abaixo:

Para facilitar a resolução do sistema de equações, sugerimos que o aluno faça a transformação da equação geral para a equação reduzida da reta. Este procedimento será adotado na resolução dos exemplos e também facilitará a identificação de retas paralelas.

 

 

Exemplo 1. Determinar o ponto de interseção das retas r e s, cujas equações gerais são, respectivamente, 2x + y – 1 = 0 e x – y + 2 = 0.

Transformando as equações gerais em reduzidas:

  • Reta r

2x + y – 1 = 0

y = -2x + 1

  • Reta s

x – y + 2 = 0

y = x + 2

 

O próximo passo é resolver o sistema abaixo:

y = -2x + 1

y = x + 2

 

Subtraindo a primeira da segunda equação:

y – y = x + 2 – (-2x + 1)

0 = x + 2 + 2x – 1

3x + 1 = 0

3x = -1

x = -1/3

 

Substituindo o valor de x na segunda equação:

y = x + 2

y = -1/3 + 2

y = 5/3

 

O ponto de interseção das retas é o ponto (-1/3, 5/3).

 

 

Exemplo 2. Determinar o ponto de interseção das retas r e s cujas equações são, respectivamente, x – y + 2 = 0 e 3x + y – 5 = 0.

Transformando as equações na forma reduzida:

  • Reta r

x – y + 2 = 0

y = x + 2

  • Reta s

3x + y – 5 = 0

y = -3x + 5

 

Devemos resolver o sistema:

y = x + 2

y = -3x + 5

 

Subtraindo a segunda da primeira equação:

y – y = x + 2 – (-3x + 5)

0 = x + 2 + 3x – 5

0 = 4x – 3

4x = 3

x = 3/4

 

Substituindo o valor de x na primeira equação:

y = x + 2

y = 3/4 + 2

y = 11/4

 

O ponto de interseção das retas é o ponto (3/4, 11/4).

 

 

Exemplo 3. Determine o ponto de interseção das retas r e s, cujas equações são, respectivamente, x + y + 1 = 0 e 2x + 2y + 4 = 0.

Transformando as equações na forma reduzida:

  • Reta r

x + y + 1 = 0

y = -x – 1

  • Reta s

2x + 2y + 4 = 0

2y = -2x – 4

y = -x – 2

 

Se tentarmos resolver o sistema de equações, veremos que trata-se de um sistema impossível. Isso porque temos duas equações distintas, porém com o mesmo coeficiente angular. Sempre que isto ocorrer teremos duas retas com a mesma inclinação, porém localizadas em locais diferentes do plano cartesiano, ou seja, as retas serão paralelas e não haverá ponto em comum.

 

 

Exemplo 4. Determine o ponto de interseção das retas r e s, cujas equações são, respectivamente, x – y + 5 = 0 e 2x – 2y + 10 = 0.

Transformando as equações na forma reduzida:

  • Reta r

x – y + 5 = 0

y = x + 5

  • Reta s

2x – 2y + 10 = 0

2y = 2x + 10

y = (2x + 10) / 2

y = x + 5

 

Veja que as retas possuem a mesma equação reduzida. Neste caso as retas são coincidentes, ou seja, possuem todos os pontos em comum.

 

 

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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