Hipérbole

Estudando matemática para concursos? Confira mais um post sobre geometria analítica, onde vamos estudar a definição, a equação e exemplos de hipérbole.

 

 

Definição:
Chamamos de hipérbole a figura formada pelos pontos do plano, onde o módulo da diferença da distância a dois pontos fixos (focos F e F’) é sempre uma constante 2a, ou seja, |d(P, F1) – d(P, F2)| = 2a.

Veja as figuras:

hiperboleFigura 1

 

hiperboleFigura 2

 

 

Elementos da hipérbole:

F1 e F2 são os focos

2c é a distância entre os focos

C é o centro

2a é o eixo real ou transverso (distância entre A1 e A2)

2b é o eixo imaginário (distância entre B1 e B2)

c/a é a excentricidade

 

 

Relação entre os valores a, b e c:
Em toda hipérbole vale a seguinte relação:
c² = b² + a²
A relação é muito útil quando sabemos dois valores e queremos achar o terceiro. Por exemplo, sabemos o tamanho dos dois eixos e queremos saber a distância focal.

 

 

Equação da elipse com centro em (0, 0)
Temos dois casos a considerar, pois assim como nas figuras, os focos podem estar tanto no eixo x quanto no eixo y. Vamos aos casos:

1) Focos sobre o eixo x:
É o caso da elipse apresentada na figura 1. A equação reduzida será:

equacao da hiperbole focos no eixo x

 

2) Focos sobre o eixo y:
É o caso da elipse apresentada na figura 2. A equação reduzida será:

equacao da hiperbole focos no eixo y

 

 

Equação da elipse com centro (Xo, Yo)
Reparou que todas as hipérboles apresentadas tem centro na origem? Pois é, isso não é uma regra, o centro da hipérbole pode estar em qualquer ponto do plano. Veja como ficam as equações, se considerarmos o eixo como o ponto (Xo, Yo):

equacao da hiperbole foco em x fora do centro

equacao da hiperbole foco em y fora do centro

 

 

Exemplo:

Determinar os elementos e a equação da hipérbole de focos (-3, 0) e (3, 0), sabendo que a menor distância entre os dois ramos da hipérbole é 4.

Nessas condições, veja como fica nossa hipérbole:

exemplo de hiperbole

O valor a = 2 foi retirado da informação que a distância entre os ramos é 4.

 

O valor c = 3 foi retirado das coordenadas dos focos, de onde sabemos que a distância entre eles é 6.

 

O centro tem como coordenadas (0, 0).

 

Calculando o valor de b:

b² = c² – a²

b² = 3² – 2²

b² = 9 – 4

b² = 5

b = √5

 

Equação da hipérbole:

equacao da hiperbole

Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

Um comentário

  1. Hiperbole pode indicar toda a secao do corte, ou tambem apenas uma das duas curvas que a formam. As duas curvas sao iguais, e sao denominadas hiperboles opostas.

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