FUNÇÃO INVERSA: DEFINIÇÃO E EXEMPLOS

Nesta página vamos falar sobre a função inversa, abordando a definição e apresentando alguns exemplos.

Pede-se que o aluno tenha um conhecimento prévio sobre a definição e dos tipos de funções, em especial a função bijetora.

Bom estudo!

 

 

DEFINIÇÃO

Em nossa página sobre os tipos de funções, apresentamos como exemplo a função f de A = {0, 1, 2} em B = {1, 3, 5}, definida pela lei f(x) = 2x + 1.

exemplo de funcao bijetora

Analisando o diagrama, claramente f é bijetora pois é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Sempre que uma função for bijetora, existe uma função que faz exatamente o contrário da função original, levando os elementos do conjunto B aos elementos do conjunto A, e a esta função damos o nome de função inversa.

 

REPRESENTAÇÃO

Seja a função f abaixo:

funcao inversivel

 

 

A inversa da função f é representada da seguinte forma:

funcao inversa

 

 

 

EXEMPLOS

Vamos analisar alguns exemplos de funções inversíveis:

 

Exemplo 1: 

Voltando ao exemplo acima, vamos construir a inversa da função f. Vejamos como fica o seu diagrama:

exemplo funcao inversa

Como podemos perceber, a inversa de f leva cada um dos elementos do conjunto B a um elemento do conjunto A, exatamente o contrário do que f fazia.

Mas como a função inversa faz isso? Com certeza não pode ser através da regra utilizada por f.

Na função f tínhamos y em função de x:

y = 2x + 1

A regra da função inversa pode ser descoberta colocando x em função de f. Temos:

descobrindo a regra da funcao inversa

Agora que já descobrimos a regra da função inversa de f, podemos representá-la:

exemplo de funcao inversa

 

Exemplo 2:

CodeCogsEqn (35)

Observe que restringimos o domínio e o contradomínio aos números reais não negativos, de modo a termos uma função bijetora, e consequentemente inversível.

Vamos determinar a regra da inversa:

inversa da funcao quadratica

Veja como fica a representação da função inversa:

exemplo

 

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Fiz questão de não fazer essa alteração para deixar bem claro o objetivo da função inversa. Assim que você entender sobre esse tipo de função, sugiro que volte novamente para a variável x, pois facilitará o seu entendimento, principalmente quando precisar desenhar o gráfico de f-¹.

Veja:

Exemplo 1:

f-¹(x) = (x-1)/2

Exemplo 2:

f-¹(x) = √x

O mais importante é não ficarmos presos a letra que utilizamos, pois temos o costume de utilizar algumas letras na matemática, mas poderiam ser quaisquer outras.

Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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