EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE ELIPSE

Estudando matemática para concursos? Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre a elipse, todos retirados dos últimos concursos públicos.

Não deixe de ver também nossos exercícios resolvidos sobre os outros tópicos da geometria analítica.

Bom estudo!

 

 

Questão 1 (IFB – 2017). Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos da elipse.

a)  (13, 0) e (– 13, 0)

b) (0, 13) e (0, – 13)

c) (12, 0) e (– 12, 0)

d) (0, 12) e (0, – 12)

e) (5, 0) e (– 5, 0)

 

Resolução

Como sabemos, em toda elipse vale a relação a² = b² + c², onde 2a é a distância do eixo maior, 2b é a distância do eixo menor e 2c é a distância entre os focos.

Pelas informações fornecidas pelo enunciado, temos que a = 13 e b = 5. Veja no desenho abaixo:

a² = b² + c²

13² = 5² + c²

169 = 25 + c²

c² = 169 – 25

c² = 144

c = 12

 

Como c = 12, os focos da elipse são (0,12) e (0,-12).

Resposta: D

 

 

Questão 2 (ESPCEX 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta.

a) Seu centro é (−2,1).

b) A medida do seu eixo maior é 25.

c) A medida do seu eixo menor é 9.

d) A distância focal é 4.

e) Sua excentricidade é 0,8.

 

Resolução

Nosso primeiro passo é descobrir se a equação realmente representa uma elipse. Nossa estratégia será completar os quadrados.

9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0

9x² – 36x + 36 – 36 + 25y² + 50y + 25 – 25 − 164 = 0

(3x – 6)² + (5y + 5)² – 225 = 0

(3x – 6)² + (5y + 5)² = 225

9.(x – 2)² + 25.(y + 1)² = 225

 

Dividindo ambos os lados da equação por 225:

 

Daí, podemos concluir que trata-se de uma elipse de centro (2, -1), com a=5 e b=3.

Eixo maior = 2a = 10

Eixo menor = 2b = 6

 

Podemos calcular o valor de c através da seguinte relação:

a² = b² + c²

5² = 3² + c²

25 = 9 + c²

c² = 25 – 9

c² = 16

c = √16

c = 4

Distância focal = 2c = 8

 

Calculando a excentricidade:

c/a = 4/5 = 0,8

Resposta: E

 

 

Gostou dos nossos exercícios resolvidos sobre a elipse?

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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