EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA

Confira aqui qual é e como pode ser determinada a equação geral da circunferência no plano cartesiano.

Não deixe de ver também nossos outros tópicos sobre a geometria analítica.

Bom estudo!

 

 

A equação geral da circunferência nada mais é do que o desenvolvimento dos quadrados da equação reduzida. Veja:

(x – a)² + (y – b)² = R²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = R²

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – R² = 0

x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – R² = 0

 

Exemplo 1. Determinar a equação geral da circunferência de centro C(1, 2) e raio 3.

(x – a)² + (y – b)² = R²

(x – 1)² + (y – 2)² = 3²

x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 9

x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 – 9 = 0

x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0

 

 

COMPLETANDO OS QUADRADOS

Como vimos, sabendo o raio e as coordenadas da circunferência, podemos facilmente determinar a equação geral. Vamos agora fazer o processo inverso, ou seja, de posse de uma equação, vamos aprender a determinar qual é a circunferência representada, e até mesmo se essa equação representa de fato uma circunferência.

Utilizaremos um processo prático que consiste em completar os quadrados, de modo que a equação geral se torne uma equação reduzida.

 

Exemplo 2. Determinar a circunferência representada pela equação abaixo:

x² + y² – 4x – 6y + 4 = 0

 

Analisando a incógnita x

(x – a)² = x² – 2ax + a²

A equação dada possui x² – 4x.

x² – 2ax + a² = x² – 4x + ……

Nosso objetivo é descobrir qual é o valor que está faltando, ou seja, o valor de a².

Como -2ax = -4x, podemos concluir que a = 2 e que a² = 4.

Daí, o termo que está faltando é o 4.

 

Analisando a incógnita y

(y – b)² = y² – 2by + b²

A equação dada possui y² – 6y.

y² – 2by + b² = y² – 6y + ……

Nosso objetivo é descobrir qual é o valor que está faltando, ou seja, o valor de b².

Como -2by = -6x, podemos concluir que b = 3 e que b² = 9.

Daí, o termo que está faltando é o 9.

 

Voltando à equação geral da circunferência:

x² + y² – 4x – 6y + 4 = 0

x² – 4x + ……. + y² – 6y + …….. = -4

 

Veja que temos condições de completar os quadrados pois já descobrimos os valores que estão faltando. Temos que observar apenas que trata-se de uma igualdade, e para que isso não se altere, se somarmos um número de um lado da equação, também deveremos somá-lo do outro lado. Veja:

x² – 4x + ……. + y² – 6y + …….. = -4

x² – 4x + 4 + y² – 6y + 9 = -4 + 4 + 9

(x² – 4x + 4) + (y² – 6y + 9) = 9

(x – 2)² + (y – 3)² = 3²

 

Analisando a equação acima, podemos concluir que a circunferência possui centro em C(2, 3) e raio igual a 3.

 

 

ANALISANDO OS COEFICIENTES

Existem algumas condições para que uma equação da forma Ax² + By² + Cxy + Dx + Ey + F = 0 represente uma circunferência. Veja:

  • A = B ≠ 0. Os coeficientes A e B devem ser iguais e diferentes de zero.
  • C = 0. Não pode haver termo xy.
  • D² + E² – 4AF > 0. Essa condição garante que r² > 0.

 

 

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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