Elipse

Estudando matemática para concursos? Confira mais um post sobre geometria analítica, onde vamos estudar a definição, a equação e exemplos de elipse.

 

 

Definição:

Chamamos de elipse a figura formada pelos pontos do plano, onde a soma da distância a dois pontos fixos (focos F e F’) é sempre uma constante 2a. Veja as figuras:

elipseFigura 1

 

elipse foco no eixo y

 

Figura 2

 

Repare que a elipse pode ser achatada verticalmente ou horizontalmente. Só temos que lembrar que 2a é sempre a maior distância.

 

 

Elementos da elipse

O centro da elipse, neste caso, tem coordenadas (0, 0).

F e F’ são os focos, repare que as coordenadas são respectivamente (c, 0) e (-c, 0), portanto a distância entre eles é de 2c, também chamado de distância focal.

2a é a distância do eixo maior.

2b é a distância do eixo menor.

c/a é a excentricidade da elipse.

 

 

Relação entre os valores a, b e c:

Em toda elipse vale a seguinte relação:

a² = b² + c²

A relação é muito útil quando sabemos dois valores e queremos achar o terceiro. Por exemplo, sabemos o tamanho dos dois eixos e queremos saber a distância focal.

 

 

Equação da elipse com centro em (0, 0)

Temos dois casos a considerar, pois assim como em nossa figura, os focos estão no eixo x, eles também podem estar no eixo y, fazendo com que a elipse tenha uma rotação de 90º. Vamos aos casos:

 

1) Focos sobre o eixo x:

É o caso da elipse apresentada na figura 1. A equação reduzida será:

equacao da elipse com foco no eixo x

 

2) Focos sobre o eixo y:

É o caso da elipse apresentada na figura 2. A equação reduzida será:

equacao da elipse com foco no eixo y

 

 

 

Equação da elipse com centro (Xo, Yo)

Reparou que todas as elipses apresentadas tem centro na origem? Pois é, isso não é uma regra, o centro da elipse pode estar em qualquer ponto do plano. Veja como ficam as equações, se considerarmos o eixo como o ponto (Xo, Yo):

equacao da elipse com foco no eixo x fora do centro

equacao da elipse com foco no eixo y fora do centro

 

 

Exemplo:

Identificar os elementos e a equação da elipse abaixo:

exemplo de elipse

 

Eixo maior = 5 – (-1) = 5 + 1 = 6

Daí, a = 6/2 = 3

 

Eixo menor = 3 – (-1) = 3 + 1 = 4

Daí, b = 4/2 = 2

 

Centro: (2, 1)

 

Equação:

exemplo equacao elipse

 

 

Sobre Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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