COMO CALCULAR A MATRIZ INVERSA

Nesta página vamos aprender a identificar e como calcular a matriz inversa, muito útil no estudo da álgebra linear.

O processo é um pouco trabalhoso e envolve alguns conceitos e operações entre matrizes, por isso não deixe de ler previamente os outros conteúdos sobre o assunto.

Bom estudo!

 

 

DEFINIÇÃO

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A é dita invertível (ou inversível) se existir uma outra matriz B, onde:

A.B = B.A = In

Neste caso dizemos que B é a matriz inversa de A e é representado por A-1.

 

 

COMO SABER SE A MATRIZ É INVERTÍVEL

Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, detA ≠ 0.

Vamos calcular o determinante das matrizes abaixo para sabermos se são invertíveis.

 

Exemplo 1:

exemplo de matriz nao invertivel

detA = 2.3 – 6.1 = 0

Logo, A não é inversível.

 

Exemplo 2:

exemplo matriz invertivel 2x2

 

detB = 1.3 – 1.2 = 1

Logo, B é inversível.

 

 

CALCULANDO A MATRIZ INVERSA

Agora que já aprendemos a identificar se uma matriz possui ou não inversa, vamos aprender a calcular em 3 passos simples, onde utilizaremos a matriz B (exemplo 2), onde já sabemos que a inversa existe.

Conforme a definição apresentada, a matriz inversa B-1 deve atender a seguinte condição:

B.B-1 = B-1.B = In

 

Primeiro passo: Determinar a matriz B-1, tal que B.B-1 = In.

Como não sabemos nenhum dos elementos de B-1, vamos considerar cada um deles como incógnitas (x, y, z, w).

exemplo de como calcular uma matriz inversa 2x2

Aplicando os nossos conhecimentos sobre o produto de matrizes:

1) x + 2z = 1

2) y + 2w = 0

3) x + 3z = 0

4) y + 3w = 1

 

Chegamos em um sistema de 4 incógnitas e 4 equações. Vamos resolvê-lo:

 

Fazendo (equação 3) – (equação 1):

x + 3z – x – 2z = 0 – 1

z = -1

 

Como z = -1, pela equação 1:

x + 2z = 1

x + 2.(-1) = 1

x – 2 = 1

x = 3

 

Fazendo (equação 4) – (equação 2):

y + 3w – y – 2w = 1 – 0

w = 1

 

Como w = 1, pela equação 2:

y + 2w = 0

y + 2.1 = 0

y = -2

 

Agora que descobrimos os valores das incógnitas, nossa matriz B-1 será:

matriz inversa 2x2

 

Segundo passo: Tirar a “prova real”, ou seja, conferir se vale o produto B.B-1 = In.

Deixaremos a cargo do estudante conferir que:

exemplo da matriz inversa pela direita

 

Terceiro passo: Conferir se vale o produto B-1.B= In.

Como já sabemos, a ordem do produto, no caso de matrizes, altera sim o resultado. Por isso devemos conferir a multiplicação alterando a ordem.

Também deixaremos a cargo do estudante conferir que:

exemplo da matriz inversa pela esquerda

 

CALCULANDO A INVERSA DE MATRIZES 3×3, 4×4

Em nosso exemplo calculamos a inversa de uma matriz 2×2, que possui 4 elementos o que nos obrigou a utilizar 4 incógnitas.

Caso seja necessário calcular a inversa de uma matriz maior, devemos também utilizar uma quantidade maior de incógnitas, a saber:

Matriz 3×3: 9 incógnitas

Matriz 4×4: 16 incógnitas

Matriz 5×5: 25 incógnitas

Matriz nxn: n² incógnitas

 

Veja o exemplo no caso de uma matriz 3×3:

inversa de matriz 3x3

 

About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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