ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS

Confira aqui como é calculado o ângulo entre duas retas concorrentes no plano cartesiano.

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Bom estudo!

 

 

Sejam r e s duas retas distintas e concorrentes, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. Veremos abaixo como determinar o ângulo agudo entre as retas, simbolizado por θ.

 

Considere que as equações reduzidas das retas r e s são:

r: y = m1.x + n1

s: y = m2.x + n2

 

Sendo m1 e m2 os coeficientes angulares das retas r e s, respectivamente, podemos calcular o ângulo θ através da fórmula abaixo:

 

Pela fórmula é possível observar que:

  • Se as retas forem paralelas, teremos m2 – m1 = 0, e θ = 0º.
  • Se as retas forem perpendiculares, teremos m2.m1 = -1, fazendo com que o denominador seja igual a zero. Por isso a restrição quanto às retas serem perpendiculares.

 

 

Caso Especial

Quando estudamos a equação geral da reta vimos que uma reta pode ser vertical. Neste caso, quando uma das retas for vertical e a outra oblíqua, podemos calcular o ângulo θ formado entre elas através da seguinte fórmula:

Neste caso, m é o coeficiente angular da reta que não é vertical.

 

 

Exemplo 1. Calcular o ângulo agudo formado pelas retas r: y = 3x + 1 e s: y = -2x – 1.

Sendo θ o ângulo agudo formado pelas retas r e s, e observando nas equações reduzidas que os coeficientes angulares  de r e s são, respectivamente, 3 e -2, temos:

Como θ é um ângulo agudo e tgθ = 1, temos que θ = 45º.

 

 

Exemplo 2. Calcular o ângulo agudo formado pelas retas r: y = 2x e s: y = -x + 6.

Temos que os coeficientes das retas r e s são, respectivamente, 2 e -1.

Sendo θ o ângulo agudo entre r e s, temos:

Portanto, θ = arctg3, onde 0º < θ < 90º.

 

 

Exemplo 3. Calcular o ângulo agudo formado pelas retas r: y = -x + 2 e s: x = 3.

Trata-se de um caso especial pois a reta s é vertical.

É possível observar também que o coeficiente angular da reta r é -1.

Daí, θ = 45º.

 

 

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About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 11 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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