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Exercícios Resolvidos – Análise Combinatória

Confira exercícios resolvidos sobre análise combinatória que caíram em vários concursos pelo Brasil.
 
 

(Prova Resolvida TRT ES 2013 – Cespe)
 
 
24 Há mais de 1.330 maneiras distintas de Pedro escolher pelo menos uma fruta entre aquelas que estão em sua fruteira.
 

Pedro vai escolher algumas frutas. Ele tem a opção de pegar uma, duas ou várias.
 

Vamos analisar quantas opções ele tem para cada fruta:
 
Uva: Pode pegar de 0 a 10, ou seja, 11 opções.
Maçã: Pode pegar de 0 a 2, ou seja, 3 opções.
Laranja: Pode pegar de 0 a 3, ou seja, 4 opções.
Banana: Pode pegar de 0 a 4, ou seja, 5 opções.
Abacaxi: Pode pegar 0 ou 1, ou seja, 2 opções.
 

Total de opções: 11 x 3 x 4 x 5 x 2 = 1320
 

Temos apenas que subtrair uma opção, a que Pedro não pega nenhuma fruta.
 

Total: 1320 – 1 = 1319
 

ERRADO

 
 

25 Se, para fazer uma salada de frutas, Pedro deve escolher pelo menos dois tipos de frutas, em qualquer quantidade, então há menos de 1.000 maneiras distintas de Pedro escolher frutas para compor sua salada.
 

Na questão anterior, vimos que ele tem 1319 opções para escolher pelo menos uma.
 

O que vai mudar quando falamos em ‘pelo menos duas’ é que, devemos descartar as 5 opções que ele teria de escolher uma fruta apenas.
 

Temos então 1319 – 5 = 1314 opções
 

ERRADO

 
 

26 Se Pedro desejar comer apenas bananas, haverá quatro maneiras de escolher algumas frutas para comer.
 

Se ele quer apenas bananas, ele poderia pegar uma, duas, três ou quatro, ou seja, 4 maneiras.
 

CERTO
 

Obs: A questão pode ter outra interpretação, repare que ele vai escolher algumas frutas, ou seja, poderíamos eliminar a opção de comer apenas uma banana e ter apenas 3 opções.

 
 

27 Se Pedro desejar comer apenas um tipo de fruta, a quantidade de maneiras de escolher frutas para comer será superior a 100.
 

Se ele comer apenas Uva ele terá 10 opções
Se ele comer apenas Maçã ele terá 2 opções
Se ele comer apenas Laranja ele terá 3 opções
Se ele comer apenas Banana ele terá 4 opções
Se ele comer apenas Abacaxi ele terá apenas 1 opção
 

Total de 20 opções
 

ERRADO

 
 

(Prova Resolvida PF 2012 – Cespe)
 
 

Dez policiais federais — dois delegados, dois peritos, dois escrivães e quatro agentes — foram designados para cumprir mandado de busca e apreensão em duas localidades próximas à superintendência regional. O grupo será dividido em duas equipes. Para tanto, exige-se que cada uma seja composta, necessariamente, por um delegado, um perito, um escrivão e dois agentes.
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.

 
 

54. Se todos os policiais em questão estiverem habilitados a dirigir, então, formadas as equipes, a quantidade de maneiras distintas de se organizar uma equipe dentro de um veículo com cinco lugares — motorista e mais quatro passageiros — será superior a 100.

 

Solução

 

Equipe de 5 pessoas: 5! = 120 maneiras

 

Resposta: Certo

 
 

55. Há mais de 50 maneiras diferentes de compor as referidas equipes.

 

Para compor as equipes teremos que escolher 1 entre 2 delegados, 1 entre 2 peritos, 1 entre 2 escrivães, 2 entre 4 agentes. Logo:

 

Para escollher delegados, peritos e escrivães temos duas opções.
Para escolher agentes, temos uma combinação de 4 agentes tomados 2 a 2 = 4!/2!(4-2)! = 6

 

Total = 2 x 2 x 2 x 6 = 48 <50

 

Resposta: Errado

 
 

(Prova Resolvida BB 2010 – Cesgranrio)
 
 

30 Uma artesã de bijuterias fabrica um colar de contas no qual utiliza 16 contas pequenas e duas contas grandes, cujo modelo é apresentado abaixo.
Os critérios que ela utiliza para montar cada colar são os seguintes:
• as contas pequenas são todas da mesma cor;
• contas grandes devem ter cores diferentes;
• se as contas pequenas forem da cor “x”, nenhuma conta grande pode ser da cor “x”.
Sabendo-se que a artesã dispõe de contas pequenas brancas, pretas, azuis e laranjas e de contas grandes brancas,
vermelhas, verdes, azuis e rosas, de quantos modos distintos ela pode escolher as cores das contas que irão compor
um colar?
(A) 28
(B) 30
(C) 32
(D) 40
(E) 42

 

Cores para as contas pequenas: branca, preta, azul e laranja
Cores para as contas grandes: branca, vermelha, verde, azul e rosa

 

Se escolhermos branca ou azul para as contas pequenas, cores comuns as duas, para escolhermos as cores das contas grandes teremos uma combinação de 2 em 4, logo:
2 x C(2,4) = 2 x 6 = 12

 

Se escolhermos preta ou laranja para as contas pequenas, cores que não podem ser usadas nas contas grandes, para escolhermos as cores das contas grandes teremos uma combinação de 2 em 5, logo:
2 x C(2,5) = 2 x 10 = 20

 

Total: 12 + 20 = 32

 
 

(Prova Resolvida TRT ES 2009 – Cespe)

 
 

Em 2007, no estado do Espírito Santo, 313 dos 1.472 bacharéis em direito que se inscreveram no primeiro exame do ano da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB) conseguiram aprovação.
Em 2008, 39 dos 44 bacharéis provenientes da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) que fizeram a primeira fase do exame da OAB foram aprovados.
Com referência às informações contidas nos textos acima, julgue os itens que se seguem.

 

47 Se a UFES decidir distribuir dois prêmios entre seus bacharéis em direito aprovados na primeira fase do exame da OAB de 2008, e se os bacharéis premiados forem distintos, haverá mais de 1.400 maneiras diferentes de serem concedidos tais prêmios.

 

O enunciado da questão não ficou muito claro pois temos duas possibilidades:

 

1) Os prêmios são iguais
Temos uma combinação de 39 tomados 2 a 2.
Total de possibilidades = C(39,2) = 39!/2!.(39-2)! = 39!/2.37! = 39.38/2 = 741

 

2) Os prêmios são diferentes
Temos um arranjo de 2 em 39.
Total de possibilidades = A(39,2) = 39!/(39-2)! = 39!/37! = 39.38 = 1482

 

O CESPE considerou o item CERTO, portanto entende-se que os prêmios são diferentes.

 
 
 

50 Com relação à primeira fase do exame da OAB de 2008, caso se deseje formar uma comissão composta por 6 bacharéis provenientes da UFES, sendo 4 escolhidos entre os aprovados e 2 entre os reprovados, haverá mais de 9 × 10^5 maneiras diferentes de se formar a referida comissão.

 

Temos uma combinação de 4 em 39 para os aprovados e uma combinação de 2 em 5 para os reprovados.
C4,39 X C2,5
C4,39 = 39!/[4!.(39-4)!]= 39!/4!.35! = 39.38.37.36/4.3.2.1 = 82251
C2,5 = 5!/[2!.(5-2)!] = 5!/2.3! = 5.4/2 = 10
C4,39 X C2,5 = 82251 x 10 = 822510 = 8,2 x 10^5 < 9,5×10^5

ERRADO
 
 

(Prova Resolvida RFB 2009 – Esaf)

 
 

Questão 40. Sabe-se que os pontos A,B,C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:
a) 16
b) 28
c) 15
d) 24
e) 32

 

prova-resolvida-auditor-rfb-2009-5

 

Resolução 1: Temos que dois pontos bastam para determinar uma reta, então basta fazer a combinação dos 7 pontos tomados 2 a 2, subtraindo a combinação dos 4 pontos (colineares) tomados 2 a 2, somando a reta que passa pelos 4 pontos colineares.

 

C7,2 - C4,2 + 1 = 7!/(7-2)!2! – 4!/(4-2)!2! + 1 = 21 – 6 + 1 = 16

 

Resolução 2:

 

Vamos analisar da seguinte forma:
Cada um dos 3 pontos não colineares pode ser ligado nos 4 pontos colineares, ou seja, cada um forma 4 retas, daí, temos 3×4 = 12 retas.
Podemos também formar 3 retas utilizando apenas os 3 pontos não colineares.
Por último, uma reta que passa pelos 4 pontos colineares.

 

Logo, 12 + 3 + 1 = 16

 

 

 

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