ANAGRAMAS – COMO RESOLVER

Dando continuidade ao estudo da Análise Combinatória, vamos aprender a calcular a quantidade de anagramas.

Pede-se que o aluno tenha conhecimentos acerca do fatorial de um número natural e do Princípio Fundamental da Contagem.

Bom estudo!

 

 

DEFINIÇÃO

Calcular a quantidade de anagramas de uma palavra é calcular quantas “palavras”, com ou sem sentido, podemos escrever com as letras utilizadas para escrevê-la.

Como exemplo, podemos listar os 6 anagramas da palavra GOL.

 

Exemplo 1. Anagramas da palavra GOL:

GOL, GLO, OGL, OLG, LGO, LOG

 

Calcular a quantidade de anagramas de uma palavra com apenas 3 letras é muito fácil. Vamos agora aprender um método simples e viável para o caso de palavras com muitas letras.

Temos dois casos a considerar:

  1. Palavras com letras diferentes
  2. Palavras com letras repetidas

 

 

ANAGRAMAS DE PALAVRAS COM LETRAS DIFERENTES

Para calcular a quantidade de anagramas de uma palavra com letras diferentes, basta utilizarmos o princípio fundamental da contagem. Veja o exemplo:

 

Exemplo 2. Calcular a quantidade de anagramas da palavra LIVRO:

Temos que utilizar as 5 letras para escrevermos “palavras” utilizando todas elas:

_  _  _  _  _

 

Temos:

5 opções para a primeira posição

4 opções para a segunda posição

3 opções para a terceira posição

2 opções para a quarta posição

1 opção para a última posição

 

Ou seja, a quantidade de anagramas da palavra LIVRO é:

5.4.3.2.1 = 120

 

O fato da quantidade de anagramas de uma palavra com 5 letras distintas ser igual a 5! não é coincidência. Para calcularmos a quantidade de anagramas de uma palavra com letras distintas, basta calcularmos o fatorial do número que representa a quantidade de letras. Veja:

 

Exemplo 3. Quantidade de anagramas da palavra AMOR:

4! = 4.3.2.1 = 24

 

Exemplo 4. Quantidade de anagramas da palavra MULHER:

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

 

Exemplo 5. Quantidade de anagramas da palavra FUTEBOL:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040

 

 

ANAGRAMAS DE PALAVRAS COM LETRAS REPETIDAS

Agora que já aprendemos a calcular a quantidade de anagramas com letras distintas, vamos aprender a calcular quando a palavra apresenta letras repetidas. O cálculo é muito simples, basta contar a quantidade de repetições.

Vamos utilizar um exemplo para facilitar a compreensão.

 

Exemplo 6. Calcular a quantidade de anagramas da palavra JABUTICABA.

Temos 10 letras. Se todas fossem diferentes, a quantidade de anagramas seria igual a 10!. Mas não é tão simples assim pois temos algumas repetições:

  • A letra A aparece 3 vezes
  • A letra B aparece 2 vezes

Devemos descontar as repetições para que a contagem dos anagramas seja feita da forma correta. Para que isto seja feito, vamos dividir o 10! pelo fatorial de cada uma das repetições. Veja:

como calcular anagramas exemplo

Veja que:

10! – representa a quantidade total de palavras

3! – representa a quantidade de vezes que a letra A aparece

2! – representa a quantidade de vezes que a letra B aparece

 

 

Exemplo 7. Calcular a quantidade de anagramas da palavra MATEMATICA.

Temos:

Quantidade de letras: 10

Quantidade de vezes que a letra M aparece: 2

Quantidade de vezes que a letra A aparece: 3

Quantidade de vezes que a letra T aparece: 2

 

Calculando:

anagramas calcular

 

 

Exemplo 8. Calcular a quantidade de anagramas da palavra ABACATE.

Temos:

Quantidade de letras: 7

Quantidade de vezes que a letra A aparece: 3

 

Calculando:

anagramas exemplos

About Jordon

Graduado e mestre em matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Trabalha como bancário há 10 anos e também como professor em cursos preparatórios para ENEM, vestibulares e concursos públicos.

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